真理値表

真理値表または真理値表は、論理的推論の分野で広く使用されている数学ツールです。その目的は、複合命題 (2 つ以上の単純な命題によって形成される議論) の論理的妥当性を検証することです。

複合命題の例:

上記の複合命題はそれぞれ、太字の接続詞で結合された 2 つの単純な命題によって形成されます。それぞれの単純な命題は真か偽の可能性があり、これは複合命題の論理値を直接暗示します。 「ジョンは背が高く、メアリーは背が低い」という表現を採用すると、このステートメントの考えられる評価は次のようになります。

真理値表は、これと同じ推論 (以下の結合トピックを参照) をより直接的な方法で概説しています。さらに、真理値表の規則は、文中の命題の数に関係なく適用できます。

まず、質問の命題を論理で使用される記号に変換します。広く使用されている記号のリストは次のとおりです。

次に、複合命題を評価するためのすべての可能性を記載した表が作成され、ステートメントが記号に置き換えられます。 3 つ以上の命題がある場合、それらはr 、 sなどの文字で記号化できることを明確にしておきます。

最後に、示されている接続詞によって定義された論理演算が適用されます。上記のリストによると、これらの演算には、否定、論理積、論理和、条件付き、および双条件付きがあります。

否定は~ で表されます。否定の論理演算は最も単純であり、多くの場合、真理値表を使用する必要はありません。同じ例に従うと、ジョアンは背が高い (p) 場合、ジョアンは背が高くない (~p) と言うのは FALSE であり、その逆も同様です。

接続詞は^で表されます。 「ジョンは背が高く、メアリーは背が低い」の例は「p ^ q」で記号化され、真理値表は次のようになります。

接続詞は累積の概念を示唆しているため、単純な命題の 1 つが偽である場合、複合命題が真であることは不可能です。

結論: 接続複合命題 (接続詞と を含む) は、その要素がすべて true の場合にのみ true になります。

例：

論理和はvで表されます。上の例の接続詞をorに変更すると、「ジョンは背が高い、またはメアリーは背が低い」になります。この場合、文は「p v q」で記号化され、真理値表は次のようになります。

論理和は交互のアイデアを意味するため、単純な命題の 1 つが真であれば、複合体も同様に真であれば十分です。

結論: 選言的複合命題 (接続詞または を含む) は、そのすべての要素が false の場合にのみ false になります。

例：

条件文は→で表されます。それは、単純な命題を因果関係で相互接続する接続詞ifとthenによって表現されます。 「パウロがリオ出身なら、彼はブラジル人です」の例は「p → q」となり、真理値表は次のようになります。

条件文には、接続詞thenで区切られた先行詞と後件命題があります。条件文を分析するときは、前件と後件の含意関係を考慮して、どのような場合に命題が可能であるかを評価する必要があります。

結論: 条件付き複合命題 (接続詞ifとthenを含む) は、最初の命題が true で 2 番目の命題が false の場合にのみ false になります。

例：

二条件は↔で表されます。これは、単純な命題を同値関係で相互接続する接続詞ifとif のみを介して読み取られます。 「ジョンはメアリーが微笑むときだけ幸せです。」の例。は「p ↔ q」となり、真理値表は次のようになります。

二条件は相互依存の考え方を示唆しています。名前自体が示すように、双条件は 2 つの条件で構成されます。1 つはpからqに向かう (p → q)、もう 1 つは逆方向 (q → p) です。

結論: 二条件複合命題 ( ifとif のみの接続詞を含む) は、すべての命題が真であるか、すべての命題が偽である場合にのみ真になります。

例：

真理値表の研究者は、各論理演算の結論を暗記するのが一般的です。問題解決の時間を節約するには、次のことに常に留意してください。